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国际贸易公司,白山网站seo,百度推广登录首页官网,网站开发软件中文版对高斯分布取负对数的详细推导过程如下#xff0c;结合数学公式与代码验证#xff1a; 1. 高斯分布概率密度函数 对于NNN维随机变量x∼N(μ,Σ)\mathbf{x} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)x∼N(μ,Σ)#xff0c;其概率密度函数为#xff1a; P(x)1(2π)N/2∣Σ…对高斯分布取负对数的详细推导过程如下结合数学公式与代码验证1. 高斯分布概率密度函数对于NNN维随机变量x∼N(μ,Σ)\mathbf{x} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)x∼N(μ,Σ)其概率密度函数为P(x)1(2π)N/2∣Σ∣1/2exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))P(\mathbf{x}) \frac{1}{(2\pi)^{N/2} |\Sigma|^{1/2}} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)P(x)(2π)N/2∣Σ∣1/21​exp(−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ))其中-μ\boldsymbol{\mu}μ是均值向量-Σ\SigmaΣ是协方差矩阵正定-∣Σ∣|\Sigma|∣Σ∣是协方差矩阵的行列式-Σ−1\Sigma^{-1}Σ−1是协方差矩阵的逆。2. 取自然对数对P(x)P(\mathbf{x})P(x)取自然对数ln⁡P(x)ln⁡(1(2π)N/2∣Σ∣1/2)ln⁡(exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)))\ln P(\mathbf{x}) \ln \left( \frac{1}{(2\pi)^{N/2} |\Sigma|^{1/2}} \right) \ln \left( \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right) \right)lnP(x)ln((2π)N/2∣Σ∣1/21​)ln(exp(−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)))分解为两部分计算1系数部分常数项ln⁡(1(2π)N/2∣Σ∣1/2)−ln⁡((2π)N/2∣Σ∣1/2)−N2ln⁡(2π)−12ln⁡∣Σ∣\ln \left( \frac{1}{(2\pi)^{N/2} |\Sigma|^{1/2}} \right) -\ln \left( (2\pi)^{N/2} |\Sigma|^{1/2} \right) -\frac{N}{2} \ln(2\pi) - \frac{1}{2} \ln|\Sigma|ln((2π)N/2∣Σ∣1/21​)−ln((2π)N/2∣Σ∣1/2)−2N​ln(2π)−21​ln∣Σ∣2指数部分二次型ln⁡(exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)))−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)\ln \left( \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right) \right) -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})ln(exp(−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)))−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)合并结果ln⁡P(x)−N2ln⁡(2π)−12ln⁡∣Σ∣−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)\ln P(\mathbf{x}) -\frac{N}{2} \ln(2\pi) - \frac{1}{2} \ln|\Sigma| - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})lnP(x)−2N​ln(2π)−21​ln∣Σ∣−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)3. 取负对数对ln⁡P(x)\ln P(\mathbf{x})lnP(x)取负号−ln⁡P(x)N2ln⁡(2π)12ln⁡∣Σ∣12(x−μ)TΣ−1(x−μ)-\ln P(\mathbf{x}) \frac{N}{2} \ln(2\pi) \frac{1}{2} \ln|\Sigma| \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})−lnP(x)2N​ln(2π)21​ln∣Σ∣21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)合并常数项注意到N2ln⁡(2π)12ln⁡∣Σ∣12ln⁡((2π)N∣Σ∣)\frac{N}{2} \ln(2\pi) \frac{1}{2} \ln|\Sigma| \frac{1}{2} \ln \left( (2\pi)^N |\Sigma| \right)2N​ln(2π)21​ln∣Σ∣21​ln((2π)N∣Σ∣)因此最终形式为−ln⁡P(x)12ln⁡((2π)N∣Σ∣)12(x−μ)TΣ−1(x−μ)-\ln P(\mathbf{x}) \frac{1}{2} \ln \left( (2\pi)^N |\Sigma| \right) \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})−lnP(x)21​ln((2π)N∣Σ∣)21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)4. 代码验证通过以下Python代码验证推导的正确性importnumpyasnp# 定义高斯分布概率密度函数defgaussian_pdf(x,mu,Sigma):Nlen(mu)det_Sigmanp.linalg.det(Sigma)inv_Sigmanp.linalg.inv(Sigma)coeff1/(np.sqrt((2*np.pi)**N*det_Sigma))exponent-0.5*np.dot((x-mu).T,np.dot(inv_Sigma,(x-mu)))returncoeff*np.exp(exponent)# 示例参数munp.array([0,0])Sigmanp.array([[1,0.5],[0.5,1]])xnp.array([1,1])# 计算概率密度p_xgaussian_pdf(x,mu,Sigma)# 计算负对数neg_log_p-np.log(p_x)# 手动计算验证公式Nlen(mu)det_Sigmanp.linalg.det(Sigma)inv_Sigmanp.linalg.inv(Sigma)quadraticnp.dot((x-mu).T,np.dot(inv_Sigma,(x-mu)))manual_neg_log0.5*(N*np.log(2*np.pi)np.log(det_Sigma)quadratic)print(概率密度 P(x):,p_x)print(负对数 -ln(P(x)):,neg_log_p)print(手动计算验证结果:,manual_neg_log)输出结果概率密度 P(x): 0.09435389770895924 负对数 -ln(P(x)): 2.3607026968501215 手动计算验证结果: 2.3607026968501225. 关键结论负对数的物理意义负对数将概率密度转化为“能量函数”最小化负对数等价于最大化概率密度这是最大似然估计MLE的核心思想。二次型的几何意义(x−μ)TΣ−1(x−μ)(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})(x−μ)TΣ−1(x−μ)是马哈拉诺比斯距离Mahalanobis distance衡量x\mathbf{x}x偏离均值的程度考虑协方差结构。应用场景在SLAM中通过最小化负对数构建最小二乘问题实现状态估计如位姿和地图的联合优化。通过数学推导与代码验证我们完整解释了高斯分布取负对数的每一步过程并验证了公式的正确性。